圆和旋转压轴题解题技巧与*几年中学考试精彩试题汇总情况

发布时间:2021-07-31 11:29:13

标准

如何短时间突破数学压轴题
还有不到一个月的时间就要进行期中考试了,期中考试的重要性不必多说。各区期中考 试的范围相信学生们都已经非常清楚。 个人觉得现在大部分学生的困难在于旋转、圆,由于时间比较紧张,给大家一些复*资料和 学*方法,希望能够帮到大家。 一、旋转:
纵观几年的数学试卷,最难的几何题几乎都是旋转,在此给出旋转中最常见的几何模型 和一些解题技巧。
旋转模型: 1、三垂直全等模型 三垂直全等构造方法:从等腰直角三角形的两个锐角顶点出发向过直角顶点的直线作垂线。

B

B

DA
2、手拉手全等模型 手拉手全等基本构图:
A

C

E

D

E

A

C

A

A

E C
B D

E C
B D

A D

B

B

C

E

A D

B

C

B

E

E C B
D
A
E

C

D

A D

C E

文案

标准
3、等线段、共端点 (1) 中点旋转(旋转 180°) 90°)
D F A A

E

C D

B

C

(2) 等 腰 直 角 三 角 形 ( 旋 转

A D
E

B

C

F'

A'

D'

(3) 等边三角形旋转(旋转 60°)

(4) 正方形旋转(旋转 90°)

A

F

D①



B

C

E

E A
P
B F

DA
F C
B

D
G
E C

4、半角模型 半角模型所有结论:在正方形 ABCD 中,已知 E、F 分别是边 BC、CD 上的点,且满足∠EAF=45°, AE、AF 分别与对角线 BD 交于点 M、N.求证:

A

D

A

D

N

N

M BE

F

C

G

O

F

M H

BE

C

(1) BE+DF=EF; (2) S△ABE+S△ADF=S△AEF; (3) AH=AB; (4) C△ECF=2AB; (5) BM2+DN2=MN2;

(6) △DNF∽△ANM∽△AEF∽△BEM;相似比为 1: 2 (由△AMN 与△AEF 的高之比 AO:

AH=AO:AB=1: 2 而得到);
文案

标准
(7) S△AMN=S 四边形 MNFE; (8) △AOM∽△ADF,△AON∽△ABE; (9) ∠AEN 为等腰直角三角形,∠AEN=45°.(1. ∠EAF=45°;2.AE:AN=1: 2 )

解题技巧:
1.遇中点,旋 180°,构造中心对称

例:如图,在等腰 △ABC 中, AB ? AC , ?ABC ? ? ,在四边形 BDEC 中, DB ? DE ,

?BDE ? 2? , M 为 CE 的中点,连接 AM , DM .

⑴ 在图中画出 △DEM 关于点 M 成中心对称的图形;

A

⑵ 求证: AM ? DM ;

⑶ 当? ? ___________时, AM ? DM .

[解析]⑴ 如图所示;

⑵ 在⑴的基础上,连接 AD ,AF

由⑴中的中心对称可知, △DEM ≌△FCM ,

B

∴ DE ? FC ? BD , DM ? FM , ?DEM ? ?FCM ,



D

?ABD ? ?ABC ? ?CBD ?? ? 360? ? ?BDE ? ?DEM ? ?BCE

? 360? ?? ? ?DEM ? ?BCE ,

A

?ACF ? 360? ? ?ACE ? ?FCM ? 360? ?? ? ?BCE ? ?FCM ,

∴ ?ABD ? ?ACF ,

∴ △ABD≌△ACF ,∴ AD ? AF ,

∵ DM ? FM ,∴ AM ? DM .

⑶ ? ? 45? .

B

C M E

C

F

M

2.遇 90°。旋 90°,造垂直;

D

E

例:请阅读下列材料:

已知:如图 1 在 Rt?ABC 中,?BAC ? 90? , AB ? AC ,点 D 、E 分别为线段 BC 上

两动点,若 ?DAE ? 45?.探究线段 BD 、 DE 、 EC 三条线段之间的数量关系.

小明的思路是:把 ?AEC 绕点 A 顺时针旋转 90? ,得到 ?ABE? ,连结 E?D ,

使问题得到解决.请你参考小明的思路探究并解决下列问题:

⑴ 猜想 BD 、DE 、EC 三条线段之间存在的数量关系式,并对你的猜想给予证明;

⑵ 当动点 E 在线段 BC 上,动点 D 运动在线段 CB 延长线上时,如图 2,其它条件

不变,⑴中探究的结论是否发生改变?请说明你的猜想并给予证明.

A

A

B

D

C E

D

B

E

C

图1

图2

[解析]

⑴ DE2 ? BD2 ? EC2 证明:根据 ?AEC 绕点 A 顺时针旋转 90? 得到 ?ABE? ∴ ?AEC ≌?ABE?

文案

标准

∴ BE? ? EC , 在 Rt?ABC 中

AE? ? AE



?C ? ?ABE?



A

?EAC ? ?E?AB

∵ AB ? AC

∴ ?ABC ? ?ACB ? 45?

E'

∴ ?ABC ? ?ABE? ? 90?

即 ?E?BD ? 90? ∴ E?B2 ? BD2 ? E?D2

B

D

C E

又∵ ?DAE ? 45?

∴ ?BAD ? ?EAC ? 45?

∴ ?E?AB ? ?BAD ? 45?

A

即 ?E?AD ? 45?

∴ ?AE?D≌?AED

F

∴ DE ? DE?

∴ DE2 ? BD2 ? EC2

D

B

E

C

⑵ 关系式 DE2 ? BD2 ? EC2 仍然成立 证明:将 ?ADB 沿直线 AD 对折,得 ?AFD ,连 FE ∴ ?AFD≌?ABD ∴ AF ? AB , FD ? DB ?FAD ? ?BAD , ?AFD ? ?ABD 又∵ AB ? AC ,∴ AF ? AC ∵ ?FAE ? ?FAD ? ?DAE ? ?FAD ? 45?
?EAC ? ?BAC ? ?BAE ? 90? ? ??DAE ? ?DAB? ? 45? ? ?DAB

∴ ?FAE ? ?EAC 又∵ AE ? AE ∴ ?AFE ≌?ACE ∴ FE ? EC , ?AFE ? ?ACE ? 45?
?AFD ? ?ABD ?180? ? ?ABC ?135? ∴ ?DFE ? ?AFD ? ?AFE ?135? ? 45? ? 90? ∴在 Rt?DFE 中
DF2 ? FE2 ? DE2 即 DE2 ? BD2 ? EC2 3.遇 60°,旋 60°,造等边;
例:已知:在△ABC中,BC=a,AC=b,以AB为边作等边三角形ABD. 探究下列问题:

(1)如图 1,当点 D 与点 C 位于直线 AB 的两侧时,a=b=3,且∠ACB=60°,则

CD=



(2)如图 2,当点 D 与点 C 位于直线 AB 的同侧时,a=b=6,且∠ACB=90°,则

CD=



(3)如图 3,当∠ACB 变化,且点 D 与点 C 位于直线 AB 的两侧时,求 CD 的最大值及相

应的∠ACB 的度数.

D

C

C

A

B

D 图1

C

A

B

图2

A

B

D 图3

文案

标准

解:(1) 3 3 ;…………………………………………1’
(2) 3 6 ? 3 2 ; …………………………………………2’
(3)以点 D 为中心,将△DBC 逆时针旋转 60°,则点 B 落在点 A,点 C 落在点 E.联结 AE,CE,
∴CD=ED,∠CDE=60°,AE=CB= a, ∴△CDE 为等边三角形, ∴CE=CD. …………………………………………4’

E

A

C B

C B
A

E
D D
当点 E、A、C 不在一条直线上时,有 CD=CE<AE+AC=a+b; 当点 E、A、C 在一条直线上时, CD 有最大值,CD=CE=a+b; 此时∠CED=∠BCD=∠ECD=60°,∴∠ACB=120°,……………………7’ 因此当∠ACB=120°时,CD 有最大值是 a+b. 4.遇等腰,旋顶角。 综上四点得出旋转的本质特征:等线段,共顶点,就可以有旋转。 图形旋转后我们需要证明旋转全等,而旋转全等中的难点在于倒角,下面给出旋转倒角 模型。
O
A D

D

O

C

A

B

B

C

二、圆

1、所给条件为特殊角或者普通角的三角函数时;

(1)特殊角问题或者锐角三角函数问题,必须有直角三角形才行,如果题目条件中

给的特殊角并没有放入直角三角形中时,需要构造直角三角形。

构造圆中的直角三角形,主要有以下四种类型:

①利用垂径定理;

②直接作垂线构造直角三角形;

文案

标准

O α
③构造所对的圆周角;

α
④连接圆心和切点;

O

O

α α

(2)另外,在解题时,还应该掌握的一个技巧就是,利用同弧或等弧上的圆周角相等, 把不在直角三角形的角,等量代换转*苯侨切沃. 在圆中,倒角的技巧有如下图几种常见的情形:

2

O

1

2
O 1

2
O 1

半径相等

圆周角=圆周角

圆心角=2圆周角

2 O
1 弦切角=圆周角

2 O
1
射影定理模型

O 综合利用各种方法

2、所给条件为线段长度、或者线段的倍分关系时; (1)因为圆中能产生很多直角三角形,所以可以考虑利用勾股定理来计算线段长度,在 利用勾股定理来计算线段长度时,特别是在求半径时,经常会利用半径来表示其他线 段的长度,常见情形如下;

文案

标准

O r
r-2
23

6-r

6

r

O

2

(2)圆中能产生很多相似三角形,所以经常也会利用相似三角形对应边成比例来计算线 段长度,常见的圆中相似情形如下:

A
E D B
C △ ADE∽△ACB

A D
E
C B △ ADE∽△BCE

A

B

DO

C

△ ABD∽△CAD∽△CBA

A

A

A

B

D

C

O

O

D

B

C

△ ABC∽△ADB∽△BDC

△ ABO∽△ADB∽△BDO

O
C D B △ ABC∽△OBD

注:圆中的中档题目,学校会留很多,在此就不放了,来两道有意思的题目。

8.如图,AB 是 O 直径,弦 CD 交 AB 于 E,?AEC ? 45? ,AB ? 2 .设 AE ?x ,CE2 ? DE2 ? y . 下列图象中,能表示 y 与 x 的函数关系是的( )

文案

标准

y

y

2

2

1

1

O

1 2x O

1

A.

B.

答案:A

y
2 1
2x O

y
2
1

1 2x C.

O 1/ 1 3/ 2 x

2

2

D.

8. 如图,以 G(0,1) 为圆心,半径为 2 的圆与 x 轴交于 A 、 B

两点,与 y 轴交于 C 、 D 两点,点 E 为⊙ G 上一动点, CF ? AE于 F .当点 E 从点 B 出发顺时针运动到点 D 时,点 F 所经过的路径长为

A. 3 ? 2

B. 3 ? 3

答案:B

C. 3 ? 4

D. 3 ? 6

I (0,1)

文案

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